Расчёт плоского конденсатора, вывод формулы ёмкости, напряжённость электрического поля конденсатора, напряжение между пластинами

КонденсаторВ статье поле плоской пластины была выведена формула напряжённости электрического поля бесконечной плоской пластины. Если эту пластину рассмотреть в разрезе и ввести понятие поверхностной плотности заряда σ, то согласно указанной статьи в любой точке пространства напряжённость электрического поля направлена перпендикулярно плоскости пластины и по величине равно:

Формула для напряжённости электрического поля бесконечной плоской пластины

E0 здесь жёстко определяется поверхностной плотностью заряда σ:

Формула для напряжённости электрического поля E0

где σ – поверхностная плотность заряда;
ε0 – диэлектрическая проницаемость для вакуума;
ε – относительная диэлектрическая проницаемость для вещества, которая для вакуума равна 1.

Формулы показывают, что величина напряжённости электрического поля плоской пластины, имеющей бесконечные размеры, не зависит от расстояния до неё.

Если σ положительная, то напряжённость электрического поля будет направлена от пластины и поле отталкивает положительные заряды.

Напряжённость электрического поля плоской пластины бесконечных размеров при положительной поверхностной плотности заряда σ

Если σ отрицательная, то напряжённость электрического поля направлена к пластине и поле притягивает положительные заряды.

Напряжённость электрического поля плоской пластины бесконечных размеров при отрицательной поверхностной плотности заряда σ

Плоским конденсатором будем называть пару параллельных плоских пластин с плотностью заряда одинаковой по модулю, но противоположной по знаку.

Расчёт и вывод формулы ёмкости плоского конденсатора

Напряжённость электрического поля конденсатора

Для расчёта плоского конденсатора расположим две пластины бесконечных размеров параллельно друг другу на некотором расстоянии d. Пусть одна пластина будет иметь поверхностную плотность заряда σ, а другая -σ. По модулю величины поверхностных плотностей зарядов будут равны. В такой ситуации общее поле плоского конденсатора по принципу суперпозиции равно сумме полей.

Напряжённость электрического поля плоского конденсатора

Обозначим напряжённости электрического поля от левой пластины плоского конденсатора как Eл, при этом положительные заряды будут отталкиваться от пластины.

Напряжённость электрического поля от правой пластины плоского конденсатора обозначим как Eп, при этом поле пластины будет притягивать к себе положительные заряды.

При равной плотности заряда напряжённость поля во всех точках пространства и от левой, и от правой пластин конденсатора будут равны по модулю. Это приведёт к тому, что слева и справа от пары пластин поля взаимно компенсируются и их сумма будет равна нулю. При этом поля между пластинами плоского конденсатора будут складываться.

Напряжённость электрического поля от левой и правой пластин плоского конденсатора

Формула напряжённости электрического поля между пластинами плоского конденсатора

где E0 – напряжённость поля при положительной σ.

Суммарная напряжённость электрического поля плоского конденсатора будет направлена от пластины с положительной σ к пластине с отрицательной σ.

Электрическая энергия плоского конденсатора отсутствует вне его пластин и вся накоплена в пространстве между пластинами.

Формула напряжённости электрического поля между пластинами плоского конденсатора

Работа по перемещению заряда

Для перемещения заряда от отрицательно заряженной пластины в направлении к положительно заряженной придётся совершить работу против электрической силы:

Формула работы по перемещению заряда от отрицательно заряженной пластины плоского конденсатора в направлении к положительно заряженной

При вычислении этой работы видно, что величина заряда q и напряжённость поля E постоянны, поэтому формула примет вид:

Формула работы по перемещению заряда от отрицательно заряженной пластины плоского конденсатора в направлении к положительно заряженной

В электрическом поле можно ввести понятие потенциала ϕ и выразить работу по перемещению заряда в точку 2 из точки 1 через разность потенциалов ϕ12.

Формула работы по перемещению заряда от отрицательно заряженной пластины плоского конденсатора в направлении к положительно заряженной, выраженная через потенциалы ϕ

Напряжение между пластинами плоского конденсатора

Разность электрических потенциалов между двумя точками называют напряжением и обозначают U12:

Формула напряжения между пластинами плоского конденсатора

Формула работы по перемещению заряда от отрицательно заряженной пластины плоского конденсатора в направлении к положительно заряженной, выраженная через напряжение

Таким образом, сравнивая две формулы для работы мы получим:

Приравнивание двух формул для работы по перемещению заряда между пластинами плоского конденсатора

Формула напряжения между пластинами плоского конденсатора, выраженная через напряжённость электрического поля

В реальном конденсаторе площадь пластин ограничена по естественным причинам, поэтому, как правило, мы не имеем возможности знать плотность заряда, а знаем только заряд пластины. В этом случае плотность заряда σ мы можем вычислить по формуле:

Формула плотности заряда на одной из пластин плоского конденсатора

где Q – заряд пластины;
S – площадь пластины.

Если пластины плоского конденсатора находятся достаточно близко друг к другу, то краевыми эффектами можно пренебречь и считать, что поле внутри конденсатора реальных размеров подобно полю внутри конденсатора с пластинами бесконечных размеров.

В таком случае имеем следующее выражение:

Формула напряжения между пластинами плоского конденсатора

Напряжение между пластинами пропорционально полному заряду этих пластин:

Формула полного заряда пластин плоского конденсатора

Электрическая ёмкость плоского конденсатора

Коэффициент пропорциональности между зарядом на обкладках плоского конденсатора и напряжением между ними носит название ёмкости плоского конденсатора и обозначается буквой C:

Формула электрической ёмкости плоского конденсатора

Закладка Постоянная ссылка.